行列をコレスキー分解をする|scilab入門

正定値対称行列を持つ連立一次方程式　Ax=b　の場合にガウスの消去法の他にコレスキー分解を使用して解く場合があります。

行列Aが正定の場合, コレスキー分解は A=UU’となるような 上三角行列U、 またはU’ を出力します。

正定値対称行列とは
　xAx’≧０
となるような行列です。

例として、任意の行列　A　をコレスキー分解をして見ることにします。、
　コレスキー分解：chol（行列）
　ここであれば　chol(A)
となります。

【計算をする】

A=[ 3 2 1; 2 3 2; 1 2 3];
U=chol(A)
–>A=[ 3 2 1; 2 3 2; 1 2 3];

–>U=chol(A)
U =

1.7320508 1.1547005 0.5773503
0. 1.2909944 1.0327956
0. 0. 1.2649111

また、U’を表示する場合には、
　U’
と入力をして　enter　を押してください。

このように表示されます。U と　U’　を比較してみてください。Uの行とU’列が同じ値であることがわかります。転置行列となっています。

scilabによるUは上三角行列で。　U’　は下三角行列となります。

数学で表示すするUは下三角行列で
　　A　=（下三角行列）（上三角行列）
となります。

コレスキー分解した行列をもとに戻す

さっき計算した行列を元に戻すには、
　
　B=U’*U
のようにすると下の行列に戻ります。ここでは、戻した行列を　B　と置きました。

1. A=[ 3 2 1; 2 3 2; 1 2 3];
2. U=chol(A);
3. B=U’*U
–>A=[ 3 2 1; 2 3 2; 1 2 3];
–>U=chol(A);
–>B=U’*U

B =
3. 2. 1.
2. 3. 2.
1. 2. 3.

このように戻ることが確認できると思います。
実行した画面は、次のようになります。

scilabでは元の行列は　U’*U　となり、また

U’*U　と　U*U’　

で生成される行列は等しくありません。